ในปี 1997 เมื่อไดน่า ไทมินาเตรียมพร้อมที่จะสอนชั้นเรียนเรขาคณิตระดับปริญญาตรี เธอต้องเผชิญกับความท้าทาย ในฐานะนักคณิตศาสตร์เยือนมหาวิทยาลัยคอร์เนล เธอวางแผนที่จะครอบคลุมรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานของพื้นผิวสามประเภท ได้แก่ ระนาบหรือยุคลิด ทรงกลม; และไฮเปอร์โบลิก เธอรู้ว่าทุกคนสามารถใช้สัญชาตญาณในการเข้าใจรูปทรงเรขาคณิตสองแบบแรก ซึ่งเป็นขอบเขตของแผ่นกระดาษและแป้นบาส อย่างไรก็ตาม ระนาบไฮเปอร์โบลิกนั้นอยู่นอกประสบการณ์ประจำวันของโลกทางกายภาพ
ครูสอนเรขาคณิตมักจะพยายามอธิบายระนาบไฮเปอร์
โบลิกผ่านแบบจำลองแบนๆ ซึ่งบิดเบือนรูปทรงเรขาคณิตของมันอย่างมาก เช่น ทำให้เส้นดูเหมือนครึ่งวงกลม เป็นต้น ไทมินาสงสัยว่าเธอจะทำให้นักเรียนรู้สึกถึงคุณสมบัติที่ต่อต้านการหยั่งรู้ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกได้อย่างไร ขณะที่เข้าร่วมการประชุมเชิงปฏิบัติการ คำตอบก็มาถึงเธอ: ถักผ้าไฮเปอร์โบลิกชิ้นหนึ่ง
ในระนาบแบนหรือทรงกลม เส้นรอบวงของวงกลมจะขยายเป็นเส้นตรงมากที่สุดเมื่อรัศมีเพิ่มขึ้น ในทางตรงข้าม ในระนาบไฮเปอร์โบลิก เส้นรอบวงของวงกลมจะเพิ่มขึ้นอย่างทวีคูณ เป็นผลให้ระนาบไฮเปอร์โบลิกค่อนข้างเหมือนพรมที่ใหญ่เกินไปสำหรับห้องของมัน ตัวล็อคและแสงจะขยายออกมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อมันโตขึ้น
ในปี 1901 นักคณิตศาสตร์ David Hilbert ได้พิสูจน์ว่าเนื่องจากการโก่งงอนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างแบบจำลองเรียบๆ ของระนาบไฮเพอร์โบลิก อย่างไรก็ตามผลลัพธ์ของเขาเปิดประตูทิ้งไว้สำหรับโมเดลที่ไม่ราบรื่นอย่างสมบูรณ์
ในปี 1970 วิลเลียม เธอร์สตัน ซึ่งปัจจุบันอยู่ที่คอร์เนลด้วย
ได้อธิบายวิธีสร้างแบบจำลองทางกายภาพโดยประมาณของระนาบไฮเพอร์โบลิกโดยการติดส่วนโค้งของกระดาษเข้าด้วยกันเป็นวงแหวนที่มีเส้นรอบวงเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ อย่างไรก็ตาม แบบจำลองเหล่านี้ใช้เวลาหลายชั่วโมงในการสร้างและเปราะบางมากจนโดยทั่วไปจำเป็นต้องได้รับการปกป้องจากการศึกษาภาคปฏิบัติที่หยาบกระด้าง
ไทมินาตระหนักว่าเธอสามารถถักโครเชต์ระนาบไฮเพอร์โบลิกที่ทนทานได้โดยใช้กฎง่ายๆ: เพิ่มจำนวนฝีเข็มในแต่ละแถวตามค่าคงที่ โดยเพิ่มตะเข็บใหม่หลังจากนั้น เช่น ทุกสอง (หรือสาม หรือสี่ หรือn ) เย็บแผล ในปี 2001 Taimina และ David Henderson เพื่อนร่วมงานของเธอที่ Cornell ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าวัตถุที่ถักโครเชต์จับรูปทรงเรขาคณิตของระนาบไฮเปอร์โบลิกได้อย่างแท้จริง ในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา Taimina ได้ถักโครเชต์โมเดลเหล่านี้มาแล้วหลายสิบแบบ
แบบจำลองของ Taimina ทำให้ง่ายต่อการศึกษาเส้นไฮเปอร์โบลิก ซึ่งเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนระนาบไฮเปอร์โบลิก เมื่อพิจารณาจาก 2 จุดแล้ว สิ่งที่จำเป็นก็คือจับแต่ละจุดแล้วค่อยๆ ดึงผ้าให้แน่นระหว่างจุดทั้งสอง จากนั้นสามารถทำเครื่องหมายบรรทัดเพื่อใช้อ้างอิงในอนาคตได้โดยการเย็บเส้นด้ายตามนั้น
ไทมินาใช้เส้นเย็บเหล่านี้ในห้องเรียนเพื่อแสดงคุณสมบัติที่มีชื่อเสียงที่สุดของระนาบไฮเปอร์โบลิก ระนาบนี้ละเมิดสมมุติฐานคู่ขนานของ Euclid ซึ่งระบุว่าเมื่อกำหนดเส้นตรงและจุดออกจากเส้น มีเพียงเส้นเดียวผ่านจุดที่ไม่เคยบรรจบกับเส้นที่กำหนด จากการเย็บเส้นด้วยเส้นด้าย นักเรียนของ Taimina ได้สังเกตว่าในระนาบไฮเปอร์โบลิก อันที่จริง มีเส้นมากมายนับไม่ถ้วนที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งไม่เคยบรรจบกับเส้นที่กำหนด พูดอย่างหลวม ๆ สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการสว่างจ้ามากของระนาบไฮเปอร์โบลิกทำให้เส้นบางเส้นเบี่ยงเบนออกจากกันแทนที่จะตัดกันเหมือนในระนาบแบน
เนื่องจากระนาบไฮเปอร์โบลิกนั้นมองเห็นได้ยาก แบบจำลองโครเชต์ของ Taimina จึงช่วยให้นักคณิตศาสตร์ที่ช่ำชองแม้แต่นักคณิตศาสตร์ที่ช่ำชองสามารถพัฒนาสัญชาตญาณเกี่ยวกับคุณสมบัติของมันได้ดีขึ้น ไทมินาจำได้ว่านักคณิตศาสตร์คนหนึ่งตรวจสอบระนาบไฮเพอร์โบลิกลำหนึ่งของเธอแล้วอุทานว่า “หน้าตามันเป็นอย่างนั้น!”
ไทมินาได้ถักแบบจำลองสำหรับแผนกคณิตศาสตร์หลายแห่งและสำหรับสถาบันสมิธโซเนียนเพื่อเป็นตัวอย่างของเครื่องมือการสอนคณิตศาสตร์ แต่ตอนนี้เธอคิดทบทวนสองครั้งก่อนที่จะตกลงทำแบบจำลองให้ผู้อื่น เนื่องจากการเติบโตแบบทวีคูณ การถักระนาบไฮเพอร์โบลิกจึงใช้เวลานาน ตัวอย่างเช่น หนึ่งในโมเดลของ Taimina เริ่มต้นด้วยแถวขนาด 1.5 นิ้ว แต่แถวที่ 20 ยาวเกิน 30 ฟุตไปแล้ว ยิ่งไปกว่านั้น งานโครเชต์ยังต้องใช้มือค่อนข้างหนัก Taimina กล่าว เนื่องจากฝีเข็มต้องแน่นเพื่อป้องกันไม่ให้ผ้ายืดออกจากรูปทรงไฮเพอร์โบลิกที่เป็นลักษณะเฉพาะ โชคดีสำหรับไทมินา นักคณิตศาสตร์หลายคน “ตอนนี้กำลังสร้างแบบจำลองของตนเองอย่างกระตือรือร้น” เธอกล่าว
ระนาบไฮเพอร์โบลิกของไทมินายังดึงดูดความสนใจจากผู้รักศิลปะอีกด้วย นางแบบของเธอได้ปรากฏตัวในงานแสดงศิลปะทั่วสหรัฐอเมริกา และบางชิ้นกำลังจัดแสดงอยู่ในลัตเวียและอิตาลี
“ตอนนี้ฉันได้พบกับผู้คนมากมายที่ไม่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ แต่ต้องการเข้าใจว่าระนาบไฮเพอร์โบลิกเหล่านี้หมายความว่าอย่างไร” ไทมินากล่าว “มันทำให้ฉันมีความสุขที่ผู้คนสามารถเรียนรู้รูปทรงเรขาคณิตที่สวยงามและไม่ถูกข่มขู่”
Credit : alliancerecordscopenhagen.com
albuterol1s1.com
antipastiscooterclub.com
libertyandgracerts.com
dessertnoir.com
sagebrushcantinaculvercity.com
xogingersnapps.com
sangbackyeo.com
mylevitraguidepricer.com
doverunitedsoccer.com
